Esta entrada también se presenta a la edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas que este mes está hospedado en el blog: La aventura de la ciencia.
La matemática es abstracta, sí, lo es. Pero la abstracción sólo está en el interior de nuestras cabezas. Muchas veces hasta los conceptos más abstractos de la matemática cobran vida y se puede convertir en elementos observables de la "realidad" que nos rodea. En esta entrada pretendemos ver la relación entre la topología y ciertas características de nuestro universo.
La topología es la rama de la matemática que estudia las propiedades de los conjuntos que permanecen invariables frente a transformaciones continuas. Dicho así queda un poco elevado, no podríamos meter en la definición de topología, en los abiertos, los compactos, los puntos de acumulación, las fronteras, las homologías, etc. Sin embargo, en esta entrada pretendemos dar ciertas nociones de la utilidad de la topología en física (una de tantas a cada cual más maravillosa). Con esto pretendemos convencer a los matemáticos de que hay ejemplos ahí fuera de cada concepto que ellos tan sesudamente definen.
La forma del universo
Preguntarse qué es la forma del universo es, en cierto sentido, ambiguo es ambigua. Cuando preguntamos por la forma del universo podemos estar refiriendonos a varias cosas, así que hay que precisar la pregunta más concretamente.
Por un lado podríamos estar refiriéndonos sobre la forma en la que se distribuyen las galaxias en el universo observable. Entonces nos encontraríamos con la foto:
En la misma lo que se ha mostrado es la distribución de galaxias en filamentos, es decir, que las galaxias no se distribuyen de forma homogénea sino en forma filamentosa con grandes huecos vacíos. Esa imagen es una simulación para probar un modelo matemático para explicar dicha configuración.
Si lo que queremos saber es si nuestro universo es plano, un cubo, un cilindro, un toro, o una pelota, nos estaremos refiriendo a la forma topológica del mismo. Para matemáticos: Aquí por "forma" nos estamos refiriendo a la clase de equivalencia según homeomorfismos a la que pertenece nuestro universo en el espíritu de la teoría de categorías.
¿Qué pasa con el universo universo?
Cuando hablamos del universo hemos de ser cuidadosos, principalmente porque cuando hablamos de la "forma" (referida a su topología en el sentido anterior) o la "geometría" (que no son lo mismo) del mismo nos estamos refiriendo a rebanadas tridimensionales del espaciotiempo cuadridimensional.
Para matemáticos: Aquí por rebanadas nos referimos a las hojas de una foliación.
Características esenciales:
1.- Cuando miramos al universo, lo más lejos que podemos "ver" es alrededor de 13.7 billones (americanos) de años luz.
2.- Todas las galaxias se alejan de todas. El universo se expande sin centro de expansión. La expansión no es contra algo, es decir, las galaxias no se mueven en un espacio preexistente, sino que es el propio espacio el que está siendo creado y por lo tanto separando las galaxias unas de otras.
Ejemplo: Tenemos un colchón de latex, en su fabricación hemos puesto ciertas canicas en su interior, separadas por distancias aleatorias. Luego lo metemos en una máquina que lo estira homogéneamente en todas direcciónes (no se si existe la máquina que haga eso). ¿Que les pasa a las canícas? ¿Se mueven POR el colchón? ¿Se mueven CON el colchón?
La respuesta es que se mueven CON el colchón. O dicho de otro modo, si le asignamos a cada punto del colchón unas coordenadas al estirarlo las canicas no cambian sus coordenadas pero sin embargo el efecto es que se alejan unas de otras. Es decir que aquí tenemos que son las distancias (Para matemáticos: la métrica) entre las coordenadas del espacio las que aumentan sin que ello implique un movimiento propio de las canicas.
Por lo tanto hacemos un salto conceptual, si el universo se está expandiendo…, entonces antes debería de estar más concentrado y de ahí a la teoría del big bang en un pis pas… Suponemos que ya conocéis la historieta esta.
El universo puede estar curvado, pero curvado ¿Dónde?
Generalmente pensamos que si nuestro universo está curvado ha de estar contenido en un espacio de dimensión superior donde entender dicha curvatura (Para matemáticos: Que nuestro universo ha de estar embebido en un espacio de dimensiones más altas). Eso es porque estamos acostumbrados a pensar según nuestra experiencia diaria. Pero, ¿hay que recurrir a un espacio de dimensión superior para saber si algo está curvado o no? Bueno, veamos:
1.- Supongamos que descubrimos unos seres planos, que no pueden ver más que en dos dimensiones y los colocamos sobre una pelota grande (muy grande comparado con ellos, estos seres son pequeños y nosotros tenemos una pelota de playa gigante).
2.- Para nosotros la pelota está curvada, por supuesto, la vemos en tres dimensiones. ¿Pero estos seres que solo ven la superficie y que no la ven toda pueden determinar que está curvada?
3.- Bueno, en nuestra pelota hay un punto rojo.
4.- Situamos cinco seres en dicho punto rojo y les conminamos a andar en línea recta.
5.- Estos empiezan a andar en 5 direcciones arbitrarias y al cabo de un rato de andar en su línea recta llegan otra vez al mismo punto los 5. (Claro desde fuera nosotros lo tenemos claro, han seguido 5 círculos máximos).
6.- Ahora tomamos a dos seres de estos y les pedimos por favor que anden paralelamente todo el rato. Las situamos en el ecuador y les pedimos que caminen hacia el polo norte. Comienzan a andar y al cabo de un rato se chocan….
7.- No tardarán en darse cuenta de que están en una superficie esférica sin más que conocer características intrínsecas a la misma, no han tenido que recurrir a un espacio de dimensión superior.
Por lo tanto, nuestro universo puede ser curvo, pero podemos determinarlo sin necesidad de recurrir a un contenedor más grande donde se pueda curvar.
Para matemáticos: Aquí se ha intentado explicar el concepto de transporte paralelo.
A nuestro alrededor el universo parece plano, pero es que no podemos ver muy lejos (también nos parece plana la tierra ¿no?).
Nuestro universo, de hecho, puede tener tres formas básicas según el contenido de materia.
Plano
En este caso el universo es y ha sido siempre infinito en cualquier dirección, pero cualquier triángulo cumple que la suma de sus ángulos son 180º, que las paralelas siempre son paralelas, etc.
Abierto o con curvatura negativa (geometría hiperbólica)
En este caso el universo es y ha sido siempre infinito en cualquier dirección. Los triangulos suman cantidades menores de 180º y las paralelas divergen…
Cerrado o con curvatura positiva (como una esfera)
En este caso el universo es y ha sido siempre finito pero sin borde (una pelota es finita sin borde, basta pasar el dedo por su superficie, podemos estar eternamente dando vueltas por ellas sin llegar a un borde). Los triángulos tienen tres ángulos que suman más de 180º y las paralelas siempre convergen…
Las indicaciones observacionales (no concluyentes) parecen mostrar que vivimos en un universo abierto. Es decir que vivimos en en una descomunal silla de montar tridimensional. Pero no podemos descartar que sea plano, por el momento.
¿Por qué no miramos más lejos?
Si el universo es infinito no deberíamos ver ningún límite en él. Si el universo es cerrado (finito sin borde) deberíamos ver muchas imágenes iguales en direcciones opuestas ¿NO?
Pues el problema es que mirar lejos es capturar luz que se emitió hace muchos años, la luz tiene que viajar durante todos esos años-luz para llegar a nosotros, y tenemos un límite. Eso hace que al mirar más y más lejos veamos al universo más y más joven, de hecho hemos llegado a ver la luz que viene del límite de lo que podemos observar
Esta es una imagen de la radiación cósmica de fondo. Esta luz procede del momento donde los fotones dejaron de interactuar con la materia y empezaron a desplazarse libremente, nos está llegando luz de ese justo instante. Hoy nos llegan en forma de microondas con una energía muy bajita todos igual (más o menos) y desde todas las direcciones (lo que confirma que no somos el centro de la expansión).
¿Sabemos la forma del universo o no?
Lo que sabemos de verdad es que el universo parece plano hasta lo que podemos ver que son esos 13.7 billones de años luz.
Estamos seguros de esa planitud con un error del 2% (más o menos). Eso quiere decir que para poder determinar si el universo es finito tendríamos que ver una extensión de 
billones de años luz. Eso ciertamente está muchos más lejos de lo que nos es posible observar. Tendremos que encontrar otros métodos para dilucidar esa cuestión.
Por el momento, parece que estamos en un universo abierto.
¿Qué más podriamos tener?
Pues entre otras muchas variantes podríamos vivir en un donut (tridimensional aunque los dibujos sean bidimensionales).
Todos hemos jugado a videojuegos donde la pantalla es un cuadrado pero si salimos por un punto del extremo derecho de la pantalla aparecemos por la izquierda (y viceversa), si salimos por arriba aparecemos por abajo (y viceversa), eso es justamente un toro, como indica la imagen.
Por lo tanto, en un universo de ese tipo deberíamos de ver múltiples imágenes repetidas de las galaxias, el problema es cómo saber que son la misma.
Lo que se está estudiando ahora es si la radiación cósmica de fondo puede ayudar en la determinación de la forma global del universo (su topología en términos matemáticos).
Universo hipertoro: El universo se compora como el toro de la imagen anterior, entonces la radiación cósmica de fondo tendremos repeticiones en la misma, que no serán nada fáciles de determinar, una simulación sería:
Lo que queda por decir es que no tenemos ni idea de la forma del universo y nos queda mucho por entender, lo cual no está mal. Pero este tema refleja la interrelación de una parte muy muy abstracta de las matemáticas, y de hecho fundamental en las bases del análisis y la geometría como cuerpos conceptuales, y observaciones que podemos realizar en nuestro propio universo.
Cuando hablo de estos temas me gusta decir:
En cierto sentido, cada experimento que hacemos de cualquier ciencia lo que hace es confirmar experimentalmente la matemática.
Nos seguimos leyendo…
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Y la ganadora es la canción Weightless de Marconi Union. Podéis escucharla 
Miras a David Bowie y te parece extraterrestre. Porque tiene los ojos de distinto color, y por otras razones. Pero vamos a dejar esas otras razones y centrémonos en sus ojos bicolores. ¿Por qué hay personas que tienen ojos de distinto color? ¿Existe la posibilidad de que algún día os cambie el color de un solo ojo?
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